"아니, 세상에 이런 독특한 공부법이 있다고?" 어려운 수학 문제, 남들은 암기한 수식으로 풀 때 창의적인 방식으로 그림 그리며 풀었더니

https://youtu.be/pN53eW7iBHE

1. 수학 공부와 창의적인 방법론

1-1. 수학 공부에 대한 소연이의 접근법
- 소연이는 전국 모의고사에서 최상위권을 차지함
- 그녀는 고등학생이지만, 수학 공부에 애정을 가지고 직접 공부하고 있음
- (중요) 소연이의 수학 공부는 개념과 원리를 이해하는 것에 초점을 맞춤
- 소연이의 공부 방식은 고등학생인 자신이 중학교학생 때 수학을 배운 것과 비슷함
- 그녀는 자신의 수학 공부 방법을 고등학생 수준에서 일반 학생 수준으로 확장하고 있음

1-2. 소연이의 수학 공부 전략과 도형 활용
- 소연이의 수학 공부에는 도형을 활용하는 전략이 포함되어 있음
- (중요) 소연이는 복잡한 문제를 해결하기 위해 도형을 이용하는 전략을 개발함
- 그녀는 수학 공식을 암기하는 것보다, 도형을 그림으로 이해하는 데 초점을 맞춤
- 이를 통해, 수학 공식을 적용한 실제 문제 해결 능력을 향상시킴
- 소연이의 방식은 일반적인 수학 공부 방식과는 달랐으며, 이로 인해 좋은 성적을 얻었음

1-3. 소연이의 창의적인 문제 해결 능력
- 소연이가 고등학생 수준의 문제를 중학생 수준의 창의적인 방법으로 해결함
- 그녀는 프랙탈 도형을 이용하여 문제를 풀어내는 창의적인 방법론을 개발함
- 이 방법론은 그녀가 수학 공부에 응용할 수 있는 창의적인 방법론을 제공함
- 소연이의 방법론은 수학 공부에 대한 새로운 접근법을 제공하며, 이를 통해 학생들이 수학을 더 쉽게 이해할 수 있게 도움을 줌
- 소연이의 방식은 그녀가 수학 공부를 통해 학습 경험을 향상시키고, 이는 그녀의 학업 성취도에 큰 영향을 미침

2. 그림과 수학

2-1. 수학과 그림의 관계
- 수학 공부를 하면서 감각을 기르는 것이 중요함
- 특히 고등학생이 되어서까지 수학의 기본 개념을 그림으로 익히는 것이 기억에 남음
- 소연이는 어려서부터 엄마가 책을 많이 읽어주고, 직접 만들어 보면서 수학의 개념을 익힘
- 독서를 많이 하면서 수학 문제를 풀 때 사고력이 길러짐
- 수학을 잘하는 자신의 이유 중 하나는 독서를 많이 했기 때문이라고 밝힘

2-2. 소연이의 수학 공부와 성적
- 소연이는 중학교 3학년 때 사회 교과서에서 나오는 내용을 자세히 설명한 책을 읽음
- 고등학교에 진학한 후 첫 시험에서 73점, 전교 271등을 떨어뜨림
- 초기 적응력이 부족했을 거라 생각했지만, 두 번째 시험에서는 성적이 오름
- (중요) 고등학교 수학은 어려워서 성적이 떨어지는 것이 아니라, 다른 방법을 했을 거라 고민함
- 오류가 생기는 이유를 관계를 이해하지 못해서 중첩된 개념이 존재했기 때문이라고 밝힘

2-3. 소연이의 그림 수학 도전
- 소연이는 그림 공식과 수식을 이용해 문제를 풀어 보려고 함
- 그림이 꽤 복잡해지면서 자신의 방법이 틀렸음을 깨닫고, 완벽한 답이 아니라고 고민함
- 종이를 접고 도형을 놓고 고민하면서 기본 개념에서 놓친 부분을 찾아냄
- 동생이 재미있는 수학 이야기 책을 읽어주면서 개념을 보완해 줌
- 복잡한 공식과 수식이 그림 속에 어떻게 담겨지는지 그 과정을 보여주는 것이 중요하다는 것을 깨달음

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김소연은 소위 공부를 잘하는 학생이다. 전국 모의고사 성적이 99% 이내 전국 최상위권이다. 외고에 다니지만 외국 거주 경험이 없다. 소연이는 이번 방학에도 학원에 다니지 않았다. 초등학교 3학년인 동생 재준이가 엄마와 함께 공부하고 있다. 소연이도 그랬다 엄마는 초등학교에 들어가기 전부터 함께 책을 읽고 공부를 도와줬다 하지만 고등학생인 지금은 사정이 좀 다르다 소연이는 수학 책을 꺼내 들었다 요즘 엄마의 도움을 받을 수 없는 과목이 수학이다. 문제집을 펼쳐놓고 소연이가 꺼낸 것들은 가위와 풀과 여러 가지 도형들이다. 늘 사용했던 것 같다 소연이의 책상엔 이 도구들이 준비돼 있다. 이것들은 다 뭐예요? 제가 수학 공부할 때 쓰는 것들이요.

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이걸 가지고 어떻게 수학 공부를 해요. 음 제가 하나 보여드릴게요. 이거는 제가 중학교 때 풀었던 문제집인데요. 여기 이 문제 풀 건데요. 6x 제곱 더하기 11x 더하기 3 인수분해 하는 거 보여드릴게요. 중학교 수학 과정에서 중요하게 다뤄지는 인수분해 고등학교 미분 적분에까지 영향을 미치는 기본 문제 하나를 골랐다 소연이는 익숙한 솜씨로 색종이를 크기와 종류가 다르게 잘라 나갔다 인수분해 공식으로도 많이 푸는데요. 이렇게도 풀 수 있어요. 요 작은 색종이에 한 변을 엑스라고 놓으면은 이 초록색 색종이의 넓이는 엑스 곱하기 엑스니까 엑스 제곱이 되구요.

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어 그리고 요 노란색 색종이는 한 변이 어 엑스고 한 변이 1이라고 보면은 엑스 그리고 요 작은 연두색은 1 1이니까. 넓이가 1이 돼요. 크기가 다른 세 가지 종류의 색종이 퍼즐을 맞추듯 종이를 늘어놓았다. 그리고 답을 찾았다고 한다. 이게 다 푼 건데요. 여기 보시면은 저희가 처음에 큰 길이는 엑스 그리고 짧은 길이는 일로 봤잖아요. 이렇게 큰 정사각형이 만들어졌으니까 이 넓이는 긴 거 2x 더하기 짧은 거 3개니까 3 가로는 2x 플러스 3이고 세로는 똑같이 해서 3x 플러스 1이 돼요. 6x제곱 플러스 11x 플러스 3을 인수분해를 하면은 2x 플러스 3과 3x 플러스 1로 인수분해 된다는 걸 알 수 있어요. 종이를 이용해 찾은 소연이의 답은 과연 맞는 것일까?

02:51
일반적으로 사용하는 수식으로 푼 답과 소연이의 답은 정확하게 일치했다. 네 당연히 풀 수 있어요. 어려운 문제든 쉬운 문제든 상관없이 개념과 원리만 알고 있으면 다 풀 수 있어요. 도대체 이런 방식으로 고등학교 수학을 풀 수 있는 것인지 궁금했다. 관계없어 보이는 수열 문제를 골랐다 이 문제는요 4분의 1부터 4분의 1의 제곱 세제곱 그리고 4분의 1에 n 제곱까지 등비수열의 합을 구하는 문제인데요. 소연이는 사각형을 그려나갔다 사각형을 4등분하고 작은 사각형을 다시 4등분해 나간다 사각형으로 답이 나오지 않았다. 이번엔 삼각형 그러더니, 답을 찾았다. 이거 같은 경우에는 4분의 1이니까. 사각형으로 풀 수 있을 것 같아서 사각형을 그렸어요.

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먼저 그리고 4분의 1이니까. 4분의 1을 나눠서 그중에 한 부분을 색칠하고 4분의 1 제곱이니까. 또 그의 4분의 1을 색칠하고 이렇게 하다 보니까 3개씩이 보이더라고요. 그래서 3개니까 삼각형을 이번엔 그려봤어요. 삼각형도 똑같이 4분의 1로 나누고 그다음에 4분의 1의 제곱을 나타내기 위해서 한 조각에서 또 4분의 1을 색칠하고 이렇게 해서 4분의 1씩 계속 색칠하다 보니까 큰 삼각형이 3개를 이루어서 사다리꼴 안에서 3분의 1이 되고 또 조그마한 사다리꼴 안에서 3분의 1이 되고 이렇게 3분의 1씩이 나와서 답이 3분의 1이라는 걸 알게 됐어요.

04:31
소연이가 그림으로 풀어낸 과정을 다시 살펴보자 4분의 1을 무한 제곱해 더했을 때 나오는 값을 찾아야 하는데 소연이는 삼각형을 그리고 4등분한 뒤 무한 분열하는 법칙을 찾아냈다 그럼 일반 수식으로 풀 때는 어떻게 할까 그림을 그리지 않는다면 대부분 이 문제는 답을 엑스로 놓고 공식을 이용해 이렇게 풀게 된다. 소연이의 풀이는 기존 방식과 확연히 달랐다 소연이의 방식을 좀 더 알아보기로 했다.

05:10
이번엔 좌표를 지정하고 그 중점에 나타나는 도형의 모양을 찾는 문제다 좌표를 그려 나가던 소연이가 갑자기 종이 한 귀퉁이를 찢었다 공식을 대입하고 복잡한 연산 작업을 하는 대신에 손으로 만든 종이 자로 좌표 위치를 확인한다. 답을 구하기까지 불과 채 1분이 걸리지 않았다. 소연이의 방법은 무척 간단해 보였다. 당신 자로 사용하려고 이용한 거예요. 네 사실 처음에는 식으로 풀려고 했는데 식이 생각이 안 나더라구요. 그래서 예 자로 쓰려고 찢었어요.

06:05
사실 오히려 집에서 보통 문제를 풀 때는 식을 찾아보려고 노력하는 편이지만 오히려 시험 때에는 시간이 안 나면 시간이 촉박하니까 오히려 더 많이 찢고 구석을 찢어서 더 많이 사용하는 편이에요. 네 많지는 않지만 꼭 있어요. 어떻게 이런 방식으로 수학을 풀 수 있는 것일까? 그동안 시중에 나와 있는 유명 수학 개념서를 한 번도 보지 않았다. 소연이의 수학 노트는 제 손으로 만든 것이다. 단원별로 배운 개념을 도형으로 혹은 간단한 그림으로 풀어서 정리하고 그에 맞춰서 문제를 풀어본다 소연이는 지난 6월 전국연합학력평가에서 수학 문제를 단 1개만 틀렸다 내신 또한 전교 1등이었다.

06:56
초등학교를 들어가기 전부터 엄마가 이렇게 직접 수학을 많이 가르쳐주셨는데 그래서 그런 것들을 생각하다 보니까 저도 저 나름대로의 방법을 찾게 되고 항상 이렇게 수학 문제는 꼭 식으로 풀어야 된다라는 생각을 안 했던 것 같아요. 여기서 하나 둘 셋 넷 시간이 날 때마다 소연이는 초등학생 동생의 수학 공부를 도와준다. 마치 어릴 적 엄마가 소연이 공부를 도와줬던 것과 같은 방법이다. 이렇게 접었대 그 다음에 삼각형 한 개를 잘랐잖아. 수학의 아주 기본적인 개념을 이해하기 위해 흔히 종이를 접고 오리고 도형을 이용하곤 한다.

07:47
소연이는 이미 간단한 공식과 연산 방법을 알고 있지만 차근차근 눈으로 보여주는 방법으로 개념을 설명해 준다. 기본 개념을 완전히 습득한 선생님이다. 제가 이렇게 가르쳐주면은 처음에 어려워 하기 싫어 이렇게 투정을 부리다가도 이렇게 해서 다양한 방법으로 해주다 보면 즐거워하더라고요. 제가 이렇게 즐겁게 수학을 풀고 있는 만큼 동생도 그런 즐거움을 알았으면 해서 네 수학의 개념들이 처음부터 공식이나 수식으로 정리된 것은 아니다. 어린아이들에게 덧셈과 뺄셈을 이해시키거나 삼각형 사각형의 구조를 가르칠 때 공식이나 수식은 등장하지 않는다.

08:41
공식이나 수식은 수학의 복잡한 관계를 빠르게 이해하거나 문제풀이를 위해 만들어진 것들이다. 도형이나 또는 그림으로 표현할 수 있다면 문제를 푸는데 벌써 반 이상은 문제를 풀었다고 생각 들 것 같습니다. 그러니까 수학적 언어를 도형으로 변환을 하지만 똑같은 수학적 언어로 변화를 하지만 본인이 이해할 수 있는 언어 그걸 하는 게 가장 중요한 생각이 듭니다. 소연이가 풀었던 등비수열 문제를 선생님에게 제시했다. 수열을 어떻게 삼각형의 구조로 풀어내고 답을 구할 수 있었을까? 소연이가 응용한 개념은 무엇이었을까? 2006년도에 했던 친구가 있는데요. 프랙탈 카드입니다. 프랙탈 도형은 자기 모양을 반복하는 거거든요. 이렇게 1단계로 놨습니다. 이게 1단계라면 제가 놓은 건 접은 부분에서 이렇게 한 단계 나아간 거죠. 맞죠.

09:38
그러면 접힌 부분이 그다음에 다 나와야겠죠. 그게 2단계입니다. 2단계 접힌 부분이 나오고 접힌 부분이 나오고 사각형 안에 숨어있는 무수히 많은 도형들 도형이 무한 분열할 수 있음을 아는 것이 핵심이었다. 제가 이 친구가 뛰어난 감각이 있다고 말씀을 드리냐면 이 문제를 읽고 이렇게 표현을 낼 수 있다는 건 수학적 감각이 아주 뛰어난 친구라 생각이 됩니다. 그 아무도 이걸 보고 숫자로 표현하기는 쉽습니다. 도형을 가지고 하지만 숫자를 가지고 도형으로 문제를 푼다는 건 그만큼 감각이 뛰다는 생각이 좀 듭니다.

10:29
수학의 기본 개념을 누구나 그림으로 도형으로 배웠지만 고등학생이 되어서까지 기억하는 이는 드물다 엄마도 이거 읽었지 그때 김용 외교관님이 선물해 주신 책 소연이는 지난 학기에 열심히 읽었던 책들을 꺼내 보여주었다 유명인의 자서전에서 문학 서적 철학 서적까지 다양했다. 국가론 읽다 보니까 중학교 3학년 때 사회 교과서 나오는 거 있잖아. 중학교 3학년 때 사회 교과서에서 나오는 내용들이 자세히 설명되어 있어 가지고 수정이도 읽기 좋을 것 같애 소연이가 손에서 책을 놓지 못하는 것은 어려서부터 엄마가 길러준 습관이다.

11:20
수학 공부도 그랬다 책을 통해 보고 손으로 직접 만들어 보면서 익힌 개념이라 쉽게 잊혀지지 않았다. 어려서부터 엄마가 책을 많이 읽어주시기도 했고 또 많이 읽게 해 주시기도 했구요. 이렇게 독서를 많이 하니까 수학 문제 풀 때도 사고력이 길러지는 것 같아요. 제가 수학을 잘하는 이유도 독서를 많이 했기 때문인 것 같아요. 그러나 소연이의 수학 공부가 계속 평탄했던 것만은 아니다. 중학교 시절 3년 내내 수학 전교 1등을 놓치지 않았던 소연이는 고등학교에 진학한 후 첫 시험에서 지독한 실패를 경험했다. 전혀 예상하지 못했던 결과였다.

12:08
그토록 자신했던 수학이 73점 전교 271등 사실 처음 고등학교 와서 중학교 때와는 다르게 성적이 많이 떨어졌어요. 그래서 그런데 그때는 그래도 내 방법은 맞는데 처음에 고등학교에 적응을 잘 못 했으니까 내가 실수를 했을 거야. 라고 생각을 했는데 두 번째 시험에서도 성적이 많이 오르지 않더라고요. 그때는 정말 내 방법이 틀렸나 내가 잘못했었나 그렇게 고민을 많이 하게 됐어요. 무엇이 잘못됐던 것일까? 중학교에 비해 고등학교 수학은 확실히 어려워졌다 그렇다고 해서 이렇게 성적이 떨어질 수 있는 걸까 만약 여기서 답을 찾지 못한다면, 그림으로 푸는 방법은 포기해야 했다.

13:05
소연이는 공식과 수식을 이용해 차근차근 문제를 풀어보았다. 그리고 이번엔 자신만의 방법 그림으로 풀어보았다. 그림이 꽤나 복잡해진다. 두 개의 방법으로 풀어본 문제는 아쉽게도 답이 달랐다 그림으로 풀어 찾아낸 답이 틀린 것이다. 두 개의 방법을 다 사용해서 풀어본 결과 대체로 그림 방법에서 오류가 발견됐다. 그래서 내 방법이 틀린 건가 이게 완벽한 방법이 아니었나 라고 고민을 진짜 많이 했죠. 그런데 제 방법을 믿었어요. 제 방법을 하고 싶었고 그래서 믿었어요. 그림으로 풀면서 오류가 생기는 것은 여러 가지 개념이 중첩돼 있을 때 그 관계를 이해하지 못했기 때문이다. 왜 관계를 이해하지 못했을까?

14:05
소연이는 다시 초등학교 시절로 돌아갔다 종이를 접고 도형을 놓고 고민하면서 기본 개념에서 놓친 부분이 무엇인지 찾아내려 애썼다 동생이 읽는 재미있는 수학 이야기 책들도 도움이 됐다. 거리를 계산하고 부피와 무게를 다루고 수를 이해하는 것은 우리 생활과도 밀접한 관계가 있다. 그림과 이야기로 풀어낸 책을 읽다 보니 그 관계가 조금씩 보이기 시작했다. 고집스럽게 노력한 결과 올해 들어 소연이의 수학 성적은 완전히 궤도에 오를 수 있었다. 올해 들어서 수학 100점도 맞고 1등도 하고 이렇게 제 방법이 증명됐다라는 거를 성적으로 보여줄 수 있어서 정말 기뻤어요.

15:03
그리고 실제로 제 방법으로 하면 문제를 까먹지도 않고 더 빠르게 풀 수도 있고 그리고 수학을 하루 종일 풀어도 제 방법을 하면은 즐거우니까 정말 좋은 것 같아요. 주변에서 보면요 수학을 지겨운 과목이라고 생각하는 친구들이 많은 것 같은데, 그런 친구들한테 이런 방법이 있다는 거 꼭 알려주고 싶어요. 소연이는 1학년 후배들에게 자신의 풀이 방식을 소개해 보기로 했다. 우선 복잡한 공식과 수식으로 전개된 내용이 어떻게 그림 속에 담겨지는지 그 과정을 보여주는 게 중요했다. 코사인 제2 법칙을 증명한 건데 칠판이 꽉 차잖아.

15:56
어렵지 그래 가지고 내가 조금 다른 방법으로 증명하는 거 보여줄게 코사인 제2 공식을 하나의 그림으로 증명해 보이겠다며 소연이는 그림을 그려 나갔다 단 한 번도 이런 증명 방법을 보지 못한 후배들은 무척 낯설어 했다. 칠판 가득 적어야 했던 증명 과정을 소연이는 단 한 장의 그림 속에 담아버렸다 설명은 간단했지만, 낯선 방법은 어려워 보였다. 그림으로 푸는 수학 과연 어떤 것일까? 대일외고 1학년 학생 3명이 이 방법에 도전해 보기로 했다.

16:50
주어진 문제는 소연이가 풀어봤던 등비수열 문제 4분의 1을 무한 제곱해 더한 값을 구하는 문제다 수식이 아닌 그림으로 풀어야 한다. 소연이가 삼각형을 이용해 간단하게 풀었던 그 문제를 놓고 학생들은 깊이 고민했다. 물론 이 학생들은 그림이 아니라면 당장 답을 구할 수 있었다. 해설집에 나온 풀이 방법 선생님이 제시한 방법 외에도 문제를 푸는 방법은 여러 가지가 있다. 지금은 그 오묘한 수학의 세계를 체험해 보는 시간이다. 주어진 시간 10분 3명의 학생들은 그림으로 답을 구하지 못했다. 처음에 도형을 정하는 게 가장 어려운 것 같아요. 처음에 도형을 저는 사각형을 했고 원을 했고 그다음에 삼각형으로 했을 때는 답이 쉽게 나오는 편이었어요.

17:48
근데 그렇지 않을 때는 답이 안 나오고 엉뚱한 곳으로 자꾸 가는 걸로 보아서 도형을 알맞은 도형을 찾는 게 가장 어려운 것 같아요. 도형이라는 부분이 너무 추상적이고 또 평소에 문제를 풀 때 수식으로만 사용했기 때문에 또 너무 생소하고 복잡해 보이기 때문에 제가 쉽게 따라 할 때 좀 어려움이 많았던 것 같아요. 삼각형으로 그래서 4분의 1 해볼게 삼각형이 있는데, 후배들이 가장 어려워한 대목은 이 문제를 삼각형으로 접근한다는 점이었다. 그림으로 푸는 데는 정해진 룰과 법칙이 없기 때문에 매번 스스로 길을 찾아야 한다. 쉰다 그래야 되나요?

18:41
생각이 제가 예상하지 못했던 부분을 끌어와서 딱 풀이를 만들어내는 그런 과정을 봤는데 그게 좀 많이 재미있었 아니까 신선했고 재미있었고, 아 정말 간단하고 쉽다 이런 느낌이 들었죠. 수식으로 사용했을 때도 약간 아 이렇게 하면 답이 나올까 라는 의문이 들기도 했는데 지금 풀어주신 걸 보니까 아 정말 이런 방법이 이렇게 빠른 시간에 풀 수 있는 방법이었던 거를 깨달았죠. 그러니까 술을 막 열심히 10분 20분 낭비하는 것보다 그 문제를 어떻게 잘하게 표현을 해서 자기가 이해하는 방식으로 표현을 한다면, 시간도 절약되고 문제 해결하는 데 도움이 될까 생각이 듭니다. 결국 이렇게 다양한 방법에 접근하다 보면 수학은 아주 재미있는 공부가 될 것이다. 지금 뭐 고3 친구나 고2 친구보다는 아마 중학교 초등학교 친구들부터 시작하는 게 좋지 않을까? 생각이 됩니다.

19:40
그러니까 한 문제를 풀이를 할 때 답을 빨리 찾는 것보다는요 그러니까 다양한 방법으로 문제를 해결하는 거 즉 이 방법 또 다른 방법 제3의 방법을 이용해서 문제를 해결하다 보면 자기만의 방법을 찾게 됩니다. 요즘 소연이가 집중하는 과목은 영어와 불어다 일주일 중에 대부분의 시간을 외국어 공부에 할애하고 있다. 사실 저는요 다른 친구들에 비해서 외국어가 조금 부족한 것 같아서 외국어 공부를 많이 하고 있어요. 그래서 수학 공부는 상대적으로 좀 덜하는 편인데요. 일주일에 한 2~3시간 정도 네 수학 공부하고 나머지는 거의 어학 공부에 치중하는 편이에요.

20:41
이번 방학엔 단어를 좀 더 집중해서 외우기 위해 공부방 벽을 활용했다. 단어 외우기에 가장 좋은 방법을 찾는 중이다. 공부의 방법에 정답은 없다. 내가 찾은 방법 나에게 맞는 방법이 가장 좋은 방법이다. 저는 아프리카에 가서 아이들을 돕고 싶어요. 모두가 지겹다고 생각하는 수학을 이렇게 즐겁게 풀어낼 수 있었듯이 지금 그 아이들의 상황이 열악하고 힘들더라도 희망을 갖고 살아갈 수 있다는 것을 그 아이들한테 꼭 알려주고 싶어요. 그림으로 푸는 수학을 찾기까지의 노력 이제는 그 경험으로 다른 과목에 도전하고 있다. 소연이는 공부가 재미있고 신이 난다